1/nの確率で当たるクジをn回引きたい

今日は確率の話。
確率で一番身近なのはソシャゲでしょう。

というわけでよくある疑問。

「1/nの確率でSSRが出るガチャをn回引いて、1枚以上当たる確率ってどれぐらい？」

例えば当選率10%のとき「10回引けば1回ぐらい当たる」とはよく言われるものの、実際はそうではないですね。10回引けば期待値は1になるはずですが、全部外れることもよくあります。

計算してみましょう。

余事象を利用します。「1枚以上当たる」ということは、「全ての場合」から「外れを引き続けた場合」を除けばいいので、その確率は

$\displaystyle{ 1-(1-\frac{1}{n})^ n}$ で求められます。

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グラフにするとこんな感じです。*1
回数のごく少ないときを除けばほとんど変わらず、約64%の確率で1枚当たることになります。

例えばSSR排出率が3%だった場合は30連で1枚、1%なら100連で1枚引ける確率がこれぐらいということですね。結構低く感じるんじゃないでしょうか。

nの値をどんどん大きくすると

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} 1-(1-\frac{1}{n})^ n = 1 - \frac{1}{e} = 0.63... }$

となります。どれだけ当選率の低いものも、数さえ稼げればある程度当選しやすくなるわけですね。宝くじの1等が当たる確率は0.00001%ということなので、1000万枚買えば63%の確率で当たります。買うのに30億かかりますけどね。

麻雀の一切関係ない記事でした。
思いついたときは麻雀にも応用できるかなと思ったけどそんなことはなさそう。麻雀を絡めてこういう話をできれば一番よかったんですが。

確率を考える上では、結果が直感に反していたり、反しているとまでは言わなくても意外だったりします。(ex:誕生日のパラドックス)
自分の直感に惑わされずに数字を突き詰めて行くことが大事かなと思います。

*1:nが変わると当選率そのものが変わることに注意